Hình chữ nhật và các tính chất cần chú ý
Muốn tính chu vi hình chữ nhật, đầu tiên người học cần hiểu đúng đây là một dạng tứ giác đặc biệt với bốn góc vuông, bốn cạnh đối song song và bằng nhau.
Hiểu rõ về hình chữ nhật và các tính chất của nó sẽ giúp ích cho chúng ta trong việc giải quyết các bài toán liên quan, cũng như trong việc thiết kế, thi công các công trình kiến trúc, xây dựng. Dưới đây là các tính chất chính của hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật là một tứ giác.
- Các cặp cạnh đối song song và có độ dài bằng nhau.
- Mỗi góc trong bằng 90 độ.
- Tổng các góc trong bằng 360 độ.
- Các đường chéo chia đôi nhau.
- Hai đường chéo dài bằng nhau.
- Đường chéo cũng chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
- Các đường chéo chia đôi nhau ở các góc khác nhau. Một góc nhọn, một góc tù khác.
- Nếu hai đường chéo vuông góc với nhau thì hình chữ nhật được gọi là hình vuông.
- Hình trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật dọc theo đường nối trung điểm của các cạnh song song dài hơn. Trong trường hợp này, chiều cao của hình trụ bằng chiều rộng của hình chữ nhật. Ngoài ra, đường kính hình trụ cũng tương đương với chiều dài của hình chữ nhật.
- Khi xoay một hình chữ nhật quanh đường nối trung điểm của các cạnh song song ngắn hơn, ta sẽ thu được một hình trụ. Chiều cao của hình trụ bằng chiều dài của hình chữ nhật ban đầu và đường kính của hình trụ bằng chiều rộng của hình chữ nhật.
Chu vi hình chữ nhật là gì?
Chu vi hình chữ nhật là tổng chiều dài hoặc khoảng cách của ranh giới của nó trên tất cả các cạnh. Chu vi của hình chữ nhật là thước đo tuyến tính và được biểu thị bằng đơn vị tuyến tính là cm, dm, m,...
Công thức tìm chu vi hình chữ nhật
Có rất nhiều ứng dụng thực tế về tính chu vi hình chữ nhật. Do đó, việc hiểu rõ bản chất và nắm vững từng trường hợp để giải quyết nhanh chóng, chính xác các bài toán là rất cần thiết.
Tìm chu vi khi biết chiều dài và chiều rộng
Công thức:
Chu vi (C) = 2 * (Chiều dài (a) + Chiều rộng (b))
Ví dụ:
Một hình chữ nhật màu đỏ với chiều dài 5cm và chiều rộng 3cm được treo trên tường có chu vi là bao nhiêu?
Giải:
Áp dụng công thức: C = 2 * (a + b) = 2 * (5cm + 3cm) = 2 * 8cm = 16cm.
Vậy chu vi của hình chữ nhật này là 16cm.
Tính chu vi khi biết diện tích và một cạnh
Giả sử ta có một hình chữ nhật với chiều dài là a và chiều rộng là b. Diện tích của hình chữ nhật sẽ được tính bằng công thức:
S = a * b
Ta được biết diện tích (S) và giá trị của một cạnh (a hoặc b).
Trường hợp 1: Biết chiều dài a và diện tích S
Muốn tính chu vi P của hình chữ nhật, ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Tính chiều rộng b bằng công thức:
b = S / a
Thay giá trị b vừa tính được vào công thức tính chu vi:
P = 2 * (a + S / a)
Trường hợp 2: Biết chiều rộng b và diện tích S
Tương tự như trường hợp 1, ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Tính chiều dài a bằng công thức:
a = S / b
Thay giá trị a vừa tính được vào công thức tính chu vi:
P = 2 * (S / b + b)
Ví dụ:
Cho một hình chữ nhật có chiều dài a = 10 cm và diện tích S = 50 cm². Hãy tính nửa chu vi của hình chữ nhật đã nêu.
Giải:
Trường hợp 1:
Tính chiều rộng b:
b = S / a = 50 cm² / 10 cm = 5 cm
Tính chu vi P:
P = 2 * (a + b) = 2 * (10 cm + 5 cm) = 30 cm
Vậy nửa chu vi P của hình chữ nhật trên là 30 / 2 = 15 cm.
Các dạng bài tập liên quan đến tính chu vi hình chữ nhật
Ngoài áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật thông thường, dưới đây là các dạng bài tập vận dụng liên quan về tính chu vi hình chữ nhật, bạn có thể tham khảo:
Cho chu vi và một cạnh, tính cạnh còn lại
Hãy tưởng tượng bạn có một sợi dây dài bằng chu vi của hình chữ nhật. Dây này được quấn quanh hình chữ nhật theo hai vòng, ôm sát hai cạnh của nó. Biết chiều dài của một cạnh, ta có thể tính được chiều dài của cạnh còn lại bằng cách sử dụng phần dây còn lại.
Giả sử chu vi hình chữ nhật là P, chiều dài một cạnh đã biết là a, ta có thể tính chiều dài cạnh còn lại (b) bằng công thức:
b = (P - 2a) / 2
Ví dụ 1:
Một hình chữ nhật có chu vi là 24 cm và chiều dài là 6 cm. Tính chiều rộng của hình chữ nhật.
Giải:
Chiều rộng của hình chữ nhật là:
b = (P - 2a) / 2 = (24 cm - 2 * 6 cm) / 2 = 6 cm
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật đã cho là 6 cm.
Ví dụ 2:
Một hình chữ nhật có chu vi là 24cm và chiều dài là 8cm. Tính độ dài chiều rộng của hình chữ nhật.
Giải:
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đã nêu là x (cm).
Dựa vào công thức tìm chu vi hình chữ nhật, ta có:
2(8 + x) = 24
=> 16 + 2x = 24
=> 2x = 24 - 16
=> 2x = 8
=> x = 8 / 2
=> x = 4
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 4cm.
Ví dụ 3:
Một mảnh vườn trồng rau hình chữ nhật có chu vi là 50m. Chiều dài của mảnh vườn gấp đôi chiều rộng. Tính độ dài chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Giải:
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m).
Theo đề bài, ta có:
Chiều dài = 2x
Chu vi hình chữ nhật = 2(chiều dài + chiều rộng)
=> 50 = 2(2x + x)
=> 50 = 6x
=> x = 50 / 6
=> x = 8,33
Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 8,33m và chiều dài của mảnh vườn là 16,67m.
Biết trước chu vi, tìm diện tích hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật là "khoảng không gian" bên trong hình chữ nhật. Ta có thể hình dung diện tích này như một mảnh vườn hình chữ nhật được bao quanh bởi hàng rào có chiều dài bằng chu vi của hình chữ nhật. Biết chu vi, ta có thể tính diện tích mảnh vườn bằng cách tính chiều dài và chiều rộng của nó.
Công thức:
Giả sử chu vi hình chữ nhật là P, ta có thể tính diện tích (S) của hình chữ nhật bằng công thức:
S = (P / 2) ^ 2
Ví dụ 1:
Một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi là 32 cm. Tính diện tích của tấm bìa đã cho.
Giải:
Diện tích hình chữ nhật là:
S = (P / 2) ^ 2 = (32 cm / 2) ^ 2 = 16 * 16 = 256 cm²
Vậy diện tích của tấm bìa hình chữ nhật là 256 cm².
Ví dụ 2:
Biết chu vi của hình chữ nhật là 30cm. Đồng thời, chiều dài gấp đôi chiều rộng của hình chữ nhật. Hãy cho biết diện tích của hình chữ nhật này là bao nhiêu?
Giải:
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đã nêu là x (cm).
Theo đề bài, ta có:
Chiều dài = 2x
Chu vi hình chữ nhật = 2(chiều dài + chiều rộng)
=> 30 = 2(2x + x)
=> 30 = 6x
=> x = 30 / 6
=> x = 5
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 5cm và chiều dài của hình chữ nhật là 10cm.
Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng = 10 x 5 = 50 (cm²)
Vậy diện tích của hình chữ nhật là 50cm².
Các bài toán thực tế liên quan đến tính chu vi hình chữ nhật
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng 15 m và chiều dài 20 m. Người ta muốn rào quanh khu vườn bằng một hàng rào. Tính số m dây thép cần thiết để rào quanh khu vườn.
Giải:
Chu vi của khu vườn là:
P = 2 * (chiều dài + chiều rộng) = 2 * (20 m + 15 m) = 70 m
Vậy số m dây thép cần thiết để rào quanh khu vườn là 70 m.
Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài 30 cm và chiều rộng 20 cm. Cắt một hình vuông có cạnh 10 cm từ một góc của tấm bìa. Tính chu vi của phần bìa còn lại.
Giải:
Chu vi của hình chữ nhật đã nêu ban đầu là:
P1 = 2 * (chiều dài + chiều rộng) = 2 * (30 cm + 20 cm) = 100 cm
Diện tích của hình vuông được cắt ra là:
S = cạnh² = 10 cm * 10 cm = 100 cm²
Diện tích của phần bìa sau khi cắt là:
S nhỏ = S ban đầu - S vuông = 30 cm * 20 cm - 100 cm² = 200 cm²
Chiều dài của phần bìa sau khi cắt là:
a nhỏ = S nhỏ / chiều rộng = 200 cm² / 20 cm = 10 cm
Chiều rộng của phần bìa còn lại vẫn là 20 cm.
Chu vi của tấm bìa đã cắt còn lại là:
P2 = 2 * (a nhỏ + chiều rộng) = 2 * (10 cm + 20 cm) = 60 cm
Vậy chu vi của phần bìa còn lại là 60 cm.
Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 6 m và chiều rộng 4 m. Muốn lát nền nhà bằng những viên gạch hình vuông có cạnh 30 cm. Cần mua bao nhiêu viên gạch để lát nền nhà?
Giải:
Diện tích của nền nhà là:
S = chiều dài * chiều rộng = 6 m * 4 m = 24 m²
Diện tích của một viên gạch là:
S viên gạch = cạnh² = 0.3 m * 0.3 m = 0.09 m²
Số viên gạch cần mua để lát nền nhà là:
Số viên gạch = S / S viên gạch = 24 m² / 0.09 m² = 266.67 viên
Vì không thể mua một phần viên gạch nên ta cần mua 267 viên gạch.
Một khu vườn hình chữ nhật với chiều dài 15 m và chiều rộng 10 m. Bạn muốn rào quanh khu vườn bằng hàng rào. Biết rằng mỗi m rào có giá 20.000 đồng. Hãy tính tổng chi phí mua rào cho khu vườn.
Giải:
Chu vi của khu vườn là:
Chu vi = 2 * (chiều dài + chiều rộng) = 2 * (15 m + 10 m) = 50 m
Số m rào cần mua là:
Số m rào = Chu vi = 50 m
Tổng chi phí mua rào là:
Tổng chi phí = Số m rào * Giá mỗi m rào = 50 m * 20.000 đồng/m = 1.000.000 đồng
Kết luận:
Vậy bạn cần 1.000.000 đồng để mua rào cho khu vườn.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta muốn làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4524m². Tính kích thước của khu vườn.
Giải:
Bước 1: Gọi x và y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (x, y > 0).
Bước 2: Viết biểu thức thể hiện mối liên hệ giữa x và y theo chu vi của khu vườn:
2(x + y) = 280 ⇔ x + y = 140 (1)
Bước 3: Viết biểu thức thể hiện diện tích còn lại để trồng trọt:
(x - 4)(y - 4) = 4524 (2)
Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm x và y:
Từ (1), ta có: y = 140 - x. Thay vào (2), ta được:
(x - 4)(136 - x) = 4524 ⇔ x² - 170x + 1796 = 0 ⇔ (x - 132)(x - 38) = 0
Bước 5: Giải nghiệm phương trình:
x = 132 (thỏa mãn điều kiện)
x = 38 (loại)
Vậy chiều dài khu vườn là 132m và chiều rộng khu vườn là 8m.
Kết luận: Kích thước của khu vườn là 132m x 8m.
Sự khác biệt giữa chu vi và diện tích của hình chữ nhật là gì?
Chu vi và diện tích là hai khái niệm toán học cơ bản thường được sử dụng để mô tả các hình học. Tuy nhiên, hai đại lượng này có những điểm khác biệt rõ ràng về mặt định nghĩa, cách tính toán và ý nghĩa hình học.
Định nghĩa:
- Chu vi: Là tổng độ dài của đường bao quanh một hình.
- Diện tích: Là đại lượng đo lường kích thước của phần mặt phẳng bên trong một hình.
Ý nghĩa hình học:
- Chu vi thể hiện độ dài ranh giới của hình dạng, bao bọc lấy hình đó.
- Diện tích thể hiện kích thước của vùng bên trong hình dạng, cho biết hình đó chiếm bao nhiêu không gian.
Đơn vị đo:
- Chu vi: cm, m, km,...
- Diện tích: cm², m², km²...
Chu vi hình chữ nhật có thể coi là một trong những công thức hình học quan trọng mà người học cần nắm được. Hy vọng những kiến thức chia sẻ bên trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc học tập và giải các bài toán về hình chữ nhật.