Hằng đẳng thức là gì?
Hằng đẳng thức gồm hai vế được ngăn cách bởi dấu “=”. Một bên là tổng hoặc hiệu, bên còn lại là tích hoặc lũy thừa. 7 hằng đẳng thức cho phép học sinh chứng minh bài toán bằng phép nhân đa thức với nhau.
Có áp dụng hằng đẳng thức vào trong cuộc sống không?
Hằng đẳng thức chủ yếu thường được áp dụng rất nhiều trong Toán học, để phân tích đa thức thành nhân tử, hay tính giá trị biểu thức hoặc giải hệ phương trình đối xứng. Bởi vậy nên những hằng đẳng thức này ít áp dụng trong cuộc sống, thay vào đó là những công trình, phép toán khác.
Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Bình phương của một tổng
Hằng đẳng thức đầu tiên chúng ta cần nhớ có công thức: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Nếu gọi số thứ nhất là A, số thứ 2 là B thì ta có thể giải thích hằng đẳng thức này như sau: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
Bình phương của một hiệu
Nếu có tổng chắc chắn sẽ có hiệu. Vậy công thức bình phương của một hiệu sẽ là (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Lý giải cho điều này, ta có: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
Hiệu hai bình phương
Muốn tính hiệu hai bình phương ta lấy hiệu số thứ nhất và số thứ hai nhân với tổng hai số đó. Từ đó, ta có công thức: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Lập phương của một tổng
Cũng tương tự như bình phương của một tổng, ta chỉ cần thay số mũ và thêm 3 lần số thứ nhứ nhất bình và số thứ hai bình, vậy nên công thức sẽ là: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Giải thích như sau: Muốn tính lập phương của tổng hai số ta lấy số thứ nhất mũ 3 cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng số thứ hai mũ 3.
Lập phương của một hiệu
Với công thức “(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3”, ta lý giải như sau: Lập phương của hiệu hai số bằng số thứ nhất mũ 3 trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi số thứ hai mũ 3.
Tổng hai lập phương
Muốn tính tổng của hai lập phương ta lấy tổng số thứ nhất và số thứ hai nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó. Vậy công thức sẽ là A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Hiệu hai lập phương
Muốn tính hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu số thứ nhất và số thứ hai nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó. Theo như giải thích trên thì A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) là công thức của hiệu hai lập phương.
Các hằng đẳng thức mở rộng
Bên cạnh 7 hằng đẳng thức cơ bản mà học sinh cần phải nhớ, vẫn còn những hằng đẳng thức mở rộng bậc hai, bậc ba và tổng quát cũng được áp dụng một cách linh hoạt để giải quyết các dạng toán nâng cao về đại số và hình học. Đa số sử dụng trong đại số là nhiều.
Hằng đẳng thức mở rộng bậc hai
Với công thức bình phương của một tổng (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, ta sẽ có hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng dưới hai dạng tương ứng với tổng và hiệu ba số:
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
(a – b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 – 2ab – 2bc + 2ac
Trong đó a, b, c là bất kỳ số hữu tỉ nào. Hằng đẳng thức này cho phép tính bình phương của tổng ba số hữu tỉ bất kỳ.
Hằng đẳng thức mở rộng bậc ba
Hằng đẳng thức bậc ba hay còn gọi là công thức đa thức bậc 3. Đây là hằng đẳng thức nâng cao, nếu biết cách áp dụng thành thạo, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán đại số, tổ hợp học và lý thuyết số phức tạp hơn. Vậy các dạng hằng đẳng thức mở rộng bậc 3 cơ bản là gì? Cụ thể:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( a + c )( b + c )
a3 + b3 + c3 – 3abc = ( a + b + c )( a3 + b3 + c3 – ab – ac – bc )
a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab( a + b )
a3 – b3 = ( a – b )3 + 3ab( a – b )
Hằng đẳng thức dạng tổng quát
Công thức của hằng đẳng thức dạng tổng quát: a^n = a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + a^2b^(n-3) + ab^(n-2) + b^(n-1)
Với mọi số nguyên n lớn hơn 2, ta có thể áp dụng hằng đẳng thức bình phương của n số hạng. Ở đây, a và b là hai số nguyên bất kỳ. Đây là một công thức toán học mở rộng có tính chất tổng quát. Công thức này có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc thông qua phân tích nhân tử của công thức tổng quát.
Vai trò của 7 hằng đẳng thức
Bảy hằng đẳng thức được cho là những đẳng thức cơ bản nhất mà các bạn học sinh cần phải nắm vững trong chương trình giảng dạy lớp 8. Chúng không những chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức mà còn nằm trong nhóm các hằng đẳng thức đại số cơ bản.
Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức có thể thường xuyên sử dụng xuyên suốt, liên quan đến các bài toán giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học THCS và THPT. Nếu học thuộc được 7 hằng đẳng thức này và áp dụng nó vào trong các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, các bạn học sinh có thể nắm được một nửa chương trình mà không cần lo lắng.
Hơn nữa, không chỉ có lớp 8, mà ngay cả những lớp trên khác cũng áp dụng, thậm chí còn được nâng cao hơn như các hẳng đẳng thức mở rộng. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ này là một kiến thức rất quan trọng mà chúng ta không thể chỉ học một cách qua loa được.
Các hằng đẳng thức như một công cụ hữu ích để học sinh giải quyết những các bài tập toán khó trong quá trình giải bài tập. Không những thế, nó còn tiết kiệm được rất nhiều thời gian cũng như công sức trong quá trình làm bài tập của các bạn. Khi áp dụng 7 hằng đẳng thức sẽ giúp cho bài toán của bạn dễ hiểu hơn và tránh được các sai sót trong quá trình biến đổi công thức.
Điều đặc biệt, 7 hằng đẳng thức cơ bản sẽ giúp cho các bạn học sinh rèn luyện được kỹ năng quan sát, khả năng phân tích vấn đề. Từ đó mang lại sự hứng thú hơn trong việc học tập, tạo động lực để bạn tìm tòi và giải quyết những bài toán khó hơn. Dần dần bạn sẽ phát triển tư duy tối đa sức mạnh, nhanh nhạy hơn trong cách xác định đề và rèn luyện trí thông minh ngay từ nhỏ.
Phương pháp ghi nhớ 7 hằng đẳng thức một cách hiệu quả
Để ghi nhớ tất cả các hằng đẳng thức trong Toán học một cách hiệu quả, học sinh nên thử áp dụng một số cách sau:
- Biến 7 hằng đẳng thức cơ bản thành những câu thơ hoặc lời bài hát để thuộc lòng, đảm bảo rất dễ vào đầu.
- Hiểu công dụng của từng hằng đẳng thức sẽ giúp các bạn học sinh áp dụng trong toán học một cách hiệu quả, dễ ghi nhớ và giải toán nhanh.
- Tìm những ví dụ thực tế hay các tình huống trong cuộc sống để liên hệ với 7 hằng đẳng thức giúp bạn ghi nhớ lâu hơn.
- Muốn giúp não bộ ghi nhớ 7 hằng đẳng thức một cách hiệu quả so với việc chỉ đọc lý thuyết, bạn có thể áp dụng phương pháp ghi nhớ bằng thị giác, tức nghĩa là bạn sử dụng Mindmap hoặc hình ảnh minh họa cho các hằng đẳng thức, như vậy sẽ ghi nhớ lâu hơn.
- Thay vì đọc nhẩm công thức nhiều lần như phương pháp truyền thống thì các bạn học sinh nên đọc to, giúp tai nghe, mắt thấy ghi nhớ thông tin cùng một lúc.
- Bạn nên thực hành 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong cùng một lúc ở nhiều dạng bài tập khác nhau, điều này sẽ giúp quá trình ghi nhớ được lâu hơn.
- Khi viết, các bạn học sinh nên đặt những hằng đẳng thức tương tự nhau hoặc có nét tương đồng, liên quan đến nhau vào cùng một chỗ, như vậy sẽ dễ dàng học thuộc và ghi nhớ.
- Chia sẻ cho mọi người cùng biết hoặc giải thích các hằng đẳng thức cho bạn bè, những người xung quanh bởi điều này sẽ khiến bạn nhớ sâu hơn, làm bài được tốt hơn.
