Bậc của đa thức là gì? Các dạng bài tập đa thức và cách giải chi tiết

Đa thức là gì? Bậc của đa thức là gì?

Đa thức là là biểu thức gồm các biến và các hệ số chỉ dùng các phép cộng, phép trừ, phép nhân, lũy thừa với số mũ tự nhiên của các biến. Ví dụ đa thức trong biến x: x2 − 4x + 3, thì các phân tử đa thức sẽ được gọi là hạng tử. Trong ví dụ này, x2 chính là hạng tử của đa thức.

Còn bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các số hạng của nó. Để xác định số mũ của các biến trong số hạng và tiến hành cộng chúng lại với nhau sẽ tìm được bậc của số hạng. Số nào có mũ lớn nhất sẽ là bậc của đa thức.

Trong toán học cao cấp đa thức được sử dụng để xây dựng vành đa thức và đa tạp đại số. Đây đều là khái niệm trọng tâm trong đại số hiện đại và hình học đại số.

Cách xác định hạng tử của đa thức

Đa thức thu gọn là đa thức không có chứa hai hạng tử nào đồng dạng. Trong đó, bậc của đa thức chính là bậc của hạng tử có bậc cao nhất ở dạng thu gọn đa thức. Để thu gọn một đa thức, chúng ta cần nhóm các hạng tử đồng dạng và cộng hạng tử cùng hạng tử với nhau.

Để xác định được hạng tử của đa thức, bạn sẽ áp dụng theo những bước như sau:

Bước 1: Viết đa thức ở dạng tổng các đơn thức

Bước 2: Thống kê các đơn thức trong tổng đơn thức và mỗi đơn thức đó sẽ là một hạng tử của đa thức.

Còn nếu muốn xác định bậc của đa thức, bạn làm theo 2 bước như sau:

Bước 1: Tiến hành thu gọn đa thức nếu như chúng được thu gọn

Bước 2: Xác định hạng tử có bậc cao nhất như ở phần thông tin trên. Đây sẽ chính là bậc của đa thức.

Lưu ý, mỗi đơn thức cũng sẽ được gọi là một đa thức. Ngoài ra, một số khác 0 tuỳ ý cũng được coi là một đa thức bậc 0 có hệ số là chính nó. Hay còn có cách gọi khác là hệ số tự do. Đối với số 0 cũng được coi là một đa thức và có tên gọi là đa thức không.

Những dạng bài tập đơn thức và đa thức

Bài 1

Hãy chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau đây:

1+xy;2−x;3xyz;5√x;x2y;13+x2+y.1+xy;2−x;3xyz;5x;x2y;13+x2+y.

Cách giải:

Các đơn thức là: 3xyz; x²y.

Các đa thức gồm:

+ Các đơn thức 3xyz; x²y;

+ Đa thức 13+x2+y13+x2+y và 2 – x.

Bài 2.

Thu gọn, tìm bậc của đa thức: B=x²y² – 3xy² + 2x²y² + 5x²y.

Cách giải:

B=x²y² – 3xy² + 2x²y² + 5x²y

=(x²y² + 2x²y²) – 3xy² + 5x²y

=3x²y² – 3xy² + 5x²y

Các hạng tử của B lần lượt có bậc là 4, 3 và 3

Do đó bậc của A sẽ bằng 4.

Bài 4.

Hãy tính giá trị của biểu thức A=x – y + z + y³ + x²y – z⁵ tại x = 5, y = 2, z = –1.

Cách giải

Thay x = 5, y = 2, z = – 1 vào đa thức A = x – y + z + y³ + x²y – z⁵ sẽ được

A=5 – 2 + (–1) + 2³ + 5² . 2 – (–1)⁵

= 5 – 2 – 1 + 8 + 25 . 2 + 1

= 61

Vậy A = 61.

Bài tập cộng trừ hai đa thức

Để cộng trừ hai đa thức, bạn cần viết chúng trong ngoặc và nối lại với nhau bằng dấu + hoặc dấu -. Lưu ý, bỏ dấu ngoặc rồi mới tiến hành thu gọn đa thức.

Ví dụ cho hai đa thức A = x² + 2y – 3xy và B = x – 8y + x²y + 21xy . Tính A – B và A + B.

Cách giải như sau:

Ta có:

A – B = x² + 2y – 3xy – (x – 8y + x²y + 21xy)

= x² + 2y – 3xy – x + 8y – x²y – 21xy

= x² + (2y + 8y) + (–3xy – 21xy) – x – x²y

= x² + 10y – 24xy – x – x²y.

A + B = x² + 2y – 3xy + x – 8y + x²y + 21xy

= x² + (2y – 8y) + (–3xy + 21xy) + x + x²y

= x² – 6y + 18xy + x + x²y.

Bài tập về nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, bạn sẽ nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia rồi mới cộng kết quả với nhau. Còn trong trường hợp nhân đơn thức với đa thức, bạn sẽ cần nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi mới cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Thực hiện các phép tính nhân đa thức:

a) 3x(x³ + 2xy²);

b) (2x²y + y) . (–5x²y² + y²).

Cách giải:

a) 3x(x³ + 2xy²) = 3x . x³ + 3x . 2xy²

= 3(x . x³) + (3 . 2)(x . x) . y²

= 3x⁴ + 6x²y².

b) (2x²y + y) . (–5x²y² + y²) = 2x²y(–5x²y² + y²) + y(–5x²y² + y²)

= 2x²y . (–5x²y²) + 2x²y . y² + y . (–5x²y²) + y . y²

= [2. (–5)] . (x² . x²) . (y . y²) + 2x² (y . y²) – 5x² . (y . y²) + y³

= –10x⁵y³ + 2x²y³ – 5x²y³ + y³

= –10x⁵y³ – 3x²y³ + y³.

Bài tập về chia đa thức cho đơn thức

Để chia một đa thức cho một đơn thức, bạn sẽ tiến hành chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó rồi mới cộng kết quả tìm được với nhau. Ví dụ như: Thực hiện các phép chia đa thức cho đơn thức sau:

a) (6ab² + 3a³b²) : (3b);

b) (95a⁷b⁵ – 50ab³ + 5a²b²) : (–5ab²).

Cách giải:

a) (6ab² + 3a³b²) : (3b)

= [6ab² : (3b)] + [3a³b² : (3b)]

= (6 : 3) . a . (b² : b) + (3 : 3) . a³ . (b² : b)

= 2ab + a³b.

b) (95a⁷b⁵ – 50ab³ + 5a²b²) : (–5ab²)

= [95a⁷b⁵ : (–5ab²)] + [–50ab³ : (–5ab²)] + [5a²b² : (–5ab²)]

= [95:(–5)].(a⁷ : a).(b⁵ : b²) + [(–50) : (–5)].(a : a).(b³ : b²) + [5 : (–5)].(a² : a).(b² : b²)

=–19a⁶b³ + 10b – a.

Những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) xy + 2y².

b) (x – 1)² + 3(1 – x).

c) (y + 6)² – 4.

d) 8x² + 32xy + 32y².

e) x⁵ – x².

g) x³ – 2x² + x – 2.

h) x³ – 3y³ + 3x²y – xy².

Chi tiết cách giải:

a) xy + 2y²

= y . x + y . 2y

= y(x + 2y);

b) (x – 1)² + 3(1 – x)

= (x – 1)(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(x – 1 – 3)

= (x – 1)(x – 4).

c) (y + 6)² – 4

= (y + 6)² – 2²

= (y + 6 – 2)(y + 6 + 2)

= (y + 4)(y + 8);

d) 8x² + 32xy + 32y²

= 8(x² + 4xy + 4y²)

= 8[x² + 2 . x . 2y + (2y)²]

= 8(x + 2y)²;

e) x⁵ – x² = x² . x ³ – x²

= x²(x³ – 1)

= x²(x – 1)(x² + x + 1).

g) x³ – 2x² + x – 2

= (x³ + x) – 2(x² + 1)

= x(x² + 1) – 2(x² + 1)

= (x² + 1)(x – 2);

h) x³ – 3y³ + 3x²y – xy²

= (x³ – xy²) + (3x²y – 3y³)

= x(x² – y²) + 3y(x² – y²)

= (x² – y²)(x + 3y)

= (x – y)(x + y)(x + 3y).

Bài 2.

Phân tích bậc của đa thức sau thành nhân tử rồi tính các giá trị của nó:

a) A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2023 và b = 2017.

b) B = x² – 2x + 1 – 4y² tại x = 51 và y = 25.

c) C = x² – 3y – 3x + xy tại x = 53 và y = 47.

Cách giải như sau:

a) A = a(b + 3) – b(3 + b)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2023 và b = 2017 vào biểu thức trên ta được:

A = (2017 + 3)(2023 – 2017)

= 2020 . 6 = 12 120.

b) B = x² – 2x + 1 – 4y²

= (x² – 2x + 1) – 4y²

= (x – 1)² – 4y²

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

Thay x = 51 và y = 25 vào biểu thức trên ta được:

B = (51 – 1 – 2.25)(51 – 1 + 2.25)

= 0.100 = 0.

c) C = x² – 3y – 3x + xy

= (x² – 3x) + (xy – 3y)

= x(x – 3) + y(x – 3)

= (x – 3)(x + y)

Thay x = 53 và y = 47 vào biểu thức trên ta được:

C = (53 – 3)(53 + 47) = 50 . 100 = 5 000.

Hi vọng qua bài viết trên đây đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về bậc của đa thức và một số kiến thức liên quan tới biểu thức này.